2. Nociones de Estadística

Uno sabe que la Estadística tiene como único objetivo recoelctar y analizar las variantes de un caracter cualquiera, sujeto a unas variaciones debidas al azar y de sacar de este análisis unas conclusiones en cuanto al valor real promedio de este carácter y al grado de amplitud de estas variantes.

Los caracteres variables sometidos a unos estudios de la Estadística se encuentran muy frecuentemente en la naturaleza, la vida pública, la industria, etc.. Temperaturas y presión atmosférica en un lugar dado, frecuencia de los nacimientos y de los decesos en una época dada, control de fabricación, variantes del costo de la vida, entradas periódicas de un comercio, etc.

En particular en la industria textil, los caracteres variables regularmente sometidos a estudios estadísticos son más a menudo:

• La resistencia dinomométrica de los hilos.
• El diámetro de las fibras.
• La Longitud de las fibras
• La elongación a la rotura de los hilos o fibras
• la regularidad de las cintas, mechas o hilos.
• La torsión de los hilos.
• La resistencia a la abrasión de los tejidos, etc.

El método estad´sitico cosiste esencialmente en:

• Sacar un número más o menos grande de muestras tomadas al azar en el conjunto de los caracteres por estudiar.
• Medir los diferentes valores del carácter de las muestras sacadas.
• Analizar los resultados de estas medidas, es decir, calcular los valores estadísticos: promedio, índice de dispersión, etc.
• Interpretar estos resultados, es decir, deducir de ellos en qué medida los valores anteriormente calculados a partir de un número reducido de muestras, son representativos del conjunto de la población y cuál es el grado de confianza atribuido a estos valores.
  

2. 1. VALORES ESTADISTICOS

Los valores estadísticos más corrientes, definiendo los caracteres variables mencionados anteriormente, y son:

• El promedio.
• El Indice de Dispersión.
• Diferencia promedio, lineal y cuadrática.
• Regularidad lineal y,
• Coeficiente de variación.
  El promedio más utilizado es el Promedio Aritmético.

2.2. PROMEDIOS

Todo el mundo conoce la noción de Promedio, tan importante en la vida práctica (Temperatura promedio, salario promedio, promedio de notas de un alumno, tamaño promedio, etc.).

Existen diferentes modos de expresión del Promedio; los principales son: El Promedio Numérico y el Promedio Ponderado.


2.2.1. Promedio Numérico

Llamado también Promedio Aritmético, es generalmente designado por “ X ” (pronunciar “X Barra”), los diferentes valores de la variable medida son designados por “Xi”.

El Promedio Numérico, es igual a la suma de los diferentes valores de Xi, divido por N (número de medidas efectuadas).


X = SigmaXi Sumatoria = Sigma
N

2.2.2 Índices de Dispersión

En general el Promedio, ya sea numérico o ponderado no bastan para dar una información suficiente sobre una serie de valores de carácter variable, y muy a menudo la dispersión de los valores alrededor del promedio, es por lo menos tan importante y a veces aún más que el mismo promedio.

Para expresar estas diferencias se utilizan unos Coeficientes de dispersión o parámetros de dispersión.

Los parámetros más utilizados son los siguientes:


2.2.2.1. Diferencia Promedio Lineal

Obtenida dividiendo la suma de las diferencias por el número de las medidas.


E = Sigma(X – Xi )
N

2.2.2.2. Irregularidad Lineal U%

Representa la diferencia promedio lineal expresada en porcentaje con respecto al promedio.

U% = E x 100
X


2.2.2.3. Diferencia promedio cuadrática o Sigma

Llamada también “Diferencia Tipo” o “Desviación Estándar”, obtenida dividiendo la suma de los cuadrados de las diferencias por el número de medidas menos 1(N – 1), y sacando la raíz cuadrada


Ã2 = Sigma(X – Xi)2 = Ã = Raíz(Ã2) = Raiz(Sigma(X – Xi)2) Ã = Varianza
N – 1 N – 1

2.2.2.4. Coeficiente de Variación, CV%

Representa la diferencia promedio cuadrática en % con respecto al promedio

CV% = Ã x 100
X
En las expresiones de Diferencia Promedio Cuadrática y del CV%, las diferencias más importantes reciben una significación más grande por el hecho de su elevación al cuadrado. Así como CV% es siempre superior a U% (excepto en el caso en que no hay dispersión o en que estos valores sean iguales).

Un ejemplo muy sencillo, sacado de la vida corriente, va a ayudarnos a entender fácilmente la aplicación de las fórmulas antes mencionadas, y el sentido de los índices de dispersión que serán utilizados en las aplicaciones textiles para definir la Irregularidad, la Longitud y la Resistencia de los Hilos, así como la Longitud promedio de las fibras.

Tomemos cuatro (4) series de ocho (8) valores cada uno, Xi (N = 8):
SERIE A: 15 18 20 22 25 23 20 17
SERIE B: 10 15 20 25 30 27 22 11
SERIE C: 0 10 20 30 40 32 18 10
SERIE D: 20 20 20 20 20 20 20 20

Y propongámonos calcular para cada una de estas series los valores estadísticos: Promedio e Índices de dispersión.

Para ilustrar este ejemplo, es muy fácil imaginar que esas series de números podrían, por ejemplo, representar los valores de la temperatura media cada tres (3) horas a partir de la una de la mañana en diferentes sitios:

Serie A: En nuestras regiones, en un día de verano.
Serie B: En Marruecos, en un día de verano.
Serie C: En el Sahara.
Serie D: En una sala climatizada.

Temperaturas Notadas A B C D
A 1,00 Hrs. 15 10 0 20
A 4,00 Hrs. 18 15 10 20
A 7,00 Hrs. 20 20 20 20
A 10,00 Hrs. 23 25 30 20
A 13,00 Hrs. 24 30 40 20
A 16,00 Hrs. 22 27 32 20
A 19,00 Hrs. 20 22 18 20
A 22,00 Hrs. 18 11 10 20

Xi = Suma 160 160 160 160

X = SigmaXi 160 = 20 160 = 20 160 = 20 160 = 20
8 8 8 8 8

Constatamos que en los cuatro (4) casos anteriores, la temperatura promedio es de 20 ºC.

Por eso hay que concluir que el clima es el mismo en esos cuatro (4) sitios?. Seguro que no, porque las diferencias extremas de temperatura a ambos lados del promedio a diferentes horas del día, son muy diferentes de un sitio a otro.

Para mostrar claramente estas diferencias es necesario calcular los índices de dispersión, y para eso, volvemos a hacer otro cuadro como el que presentamos a continuación:

Temperatura

Relevées Xi X-Xi (X-Xi)2 Xi X-Xi (X-Xi)2 Xi X-Xi (X-Xi)2 Xi X-Xi (X-Xi)2

A 1,00 Hrs. 15 5 25 10 10 100 0 20 400 20 0 0

A 4,00 Hrs. 18 2 4 15 5 25 10 10 100 20 0 0

A 7,00 Hrs. 20 0 0 20 0 0 20 0 0 20 0 0

A 10,00 Hrs. 23 3 9 25 5 25 30 10 100 20 0 0

A 13,00 Hrs. 24 4 16 30 10 100 40 20 400 20 0 0

A 19,00 Hrs. 20 0 0 22 2 4 18 2 4 20 0 0

A 22,00 Hrs. 18 2 4 11 9 81 10 10 100 20 0 0

Sumas 160 18 62 160 48 384 160 84 1248 160 0 0

N = 8

X 160/8 = 20 160/8 = 20 160/8 = 20 160/8 = 20

E 18/8 = 2.25 48/8 = 6 84 / 8 = 10.5 0 /8 = 0

%U 2.25 x 100/20 = 11.3% 6x100/20 = 30% 10.5x100/20 = 52.5% 0x100/20 = 0%

à Raiz(62/7) = 2.96 Raiz(384/7) = 7.4 Raiz(1248/7) = 13.35 Raiz(0/7) = 0

CV% 2.96 x 100/20 = 14.8% 7.4x100/20 = 37% 13.35x100/20 = 67% 0x100/20 = 0%

CV% = 1.25xU% ó U% = 0.8xCV%